Заказать решение задач по математике Свойства определителей

Заказать > решение задач по математике > Тема: Свойства определителей.
На нашем сайте вы всегда сможете онлайн купить или заказать решения задач по математике, в частности по тематике Свойства определителей. Для срочного заказа решений задач недорого напишите нам по удобным для вас контактам на странице Контакты. Ниже кратко приведем теорию по теме.

Свойства определителей.

Определители произвольного порядка обладают рядом свойств.
Свойство 1. Если в определителе поменять местами строки на столбцы, то величина определителя не изменится.
Замену в определителе строк на соответствующие столбцы называют транспонированием определителя. Величина определителя не меняется при его транспонировании, то есть его строки и столбцы равноправны.
Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки (или столбцы), то он изменит только знак, не меняя абсолютной величины.
Свойство 3. Если в определителе все элементы произвольного строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство. Доказательство этого свойства очевидно, поскольку при исчислении определителя все слагаемые содержат нулевые множители i -й строки. Поэтому и сам определитель равен нулю.
Свойство 4. Если в определителе есть два одинаковых строки (или столбцы), то определитель равен нулю.
Доказательство. Для доказательства этого свойства поменяем местами i-ый и k — й строки. С одной стороны величина определителя не изменится (поскольку одинаковые строки), а с другой — изменится знак на противоположный (согласно свойству 2). Если обозначить величину определителя через Δ, то получим равенство Δ = -Δ, то есть 2Δ = 0, а значит Δ = 0.
Свойство 5. Если все элементы произвольной строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Следствие. Если произвольный строку (или столбец) определителя умножить на число λ, то величина определителя изменится в λ раз.
Свойство 6. Если в определителе элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (или столбца), то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть элементы i-го и k-го строк пропорциональны. По свойству 5 постоянный множитель пропорциональности λ можно вынести за знак определителя. При этом получим произведение числа λ на определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю (по свойству 4).
Свойство 7. Если в определителе все элементы произвольной строки (или столбца) являются суммой двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей. При этом элементы рассматриваемого строки (или столбца) в первом определителе являются первым слагаемым, а элементы соответствующей строки (или столбца) второго определителя — вторым слагаемым.
Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам произвольной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число λ.
Определение 1. Минором ij M элемента ij a определителя n — го порядка называется определитель (n — 1) — го порядка, полученный из старого после вычеркивания i — й строки и j — го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
Определение 2. Алгебраическим дополнением ij A элемента ij a определителя n — го порядка называется минор для этого элемента, взятый со знаком «+», если число (i + j) — четное и со знаком «-«, если оно нечетное.
Свойство 9. (Теорема Лапласа).
Определитель равен сумме произведений элементов произвольного строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Эта теорема называется еще теоремой разложения. При этом первая формула является расписанию определителя по элементам его строки, а вторая — расписанию определителя по элементам его столбца.
С помощью этого свойства, вычисление определителя n — го порядка сводится к вычислению определителей (n — 1) — го порядка. Поэтому при исчислении таких определителей лучше выбирать для расписания строку или столбец, в котором есть нули. При этом будем исчислять не n определителей (n — 1) — го порядка, а меньше.

Вам не придется учить всю эту громоздкую теорию, если вы решить заказать задачи по математике у нас на сайте.

А также у нас можно срочно заказать решение задач по математике и по всем остальным темам. Обращайтесь!